1. Основы теории множеств: элементы, подмножества и операции

1 Понятие множества и элемента

Множеством называется совокупность объектов любой природы, которую объединяют в одну группу по тем или иным признакам. Объекты, которые образуют данное множество, называются элементами множества. Элементы могут обладать некоторыми свойствами и находиться в отношениях между собой или с элементами других множеств.

Множества обычно обозначаются заглавными буквами, а элементы множеств — строчными буквами. Принадлежность элемента множеству записывается как x ∈ A. Если элемент x не принадлежит множеству A, пишут x ∉ A.

Множество можно задавать перечислением его элементов или через свойство элементов. Запись вида {x | P(x)} означает множество всех элементов x, обладающих свойством P(x).

Задание множества через свойство элементов Источник: Wikimedia Commons · CC0 · Addemf

2 Конечные, бесконечные и пустые множества

Множества могут быть конечными и бесконечными. Конечное множество содержит конечное число элементов, бесконечное множество — бесконечное число элементов.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается ∅. В лекции это записано как A = ∅ или |A| ≤ 0. ⚠️Комментарий от ИИ: на лекции прозвучало «|A| ≤ 0»; по общедоступным источникам мощность пустого множества равна нулю, то есть |A| = 0, а мощность множества не бывает отрицательной.

3 Подмножества и включение

Множество A называется подмножеством множества B, если каждый элемент множества A содержится в множестве B. Это обозначается A ⊆ B или A ⊂ B.

Нестрогое включение A ⊆ B означает, что A является подмножеством B и при этом возможно совпадение A с B. Строгое включение A ⊂ B означает, что A является подмножеством множества B, но не совпадает с множеством B.

Равенство множеств A и B по определению означает, что выполняются оба включения: A включено в B и B включено в A.

Подмножество как включение одного множества в другое Источник: Wikimedia Commons · CC BY-SA 4.0 · The Original Benny C

4 Классы и множества

В лекции сказано: совокупность объектов, которая не является множеством, называется классом. ⚠️Комментарий от ИИ: на лекции прозвучало такое определение; по общедоступным источникам в аксиоматической теории множеств класс обычно понимается как совокупность объектов, задаваемая свойством, а класс, который не является множеством, называют собственным классом.

5 Объединение и пересечение множеств

Объединением множеств A и B называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или B.

Пересечением множеств A и B называется множество тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B.